Solución de problemas de PL por el método gráfico

En primer lugar definamos que es PL; la Programación Lineal es una técnica matemática que usa la administración de empresas para resolver situación de planeación de producción y operaciones.

 Son diversas las situaciones en las que restricciones de recursos hacen de la planeación de la producción un desafío. La PL surge como la técnica que encuentra soluciones fáctibles para los menesteres de la producción.

PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal es una técnica matemática utilizada para resolver problemas de optimización. Se utiliza para maximizar o minimizar una función lineal sujeta a un conjunto de restricciones lineales. (Taha, M.; 2006)

Los problemas de programación lineal se resuelven mediante un proceso de optimización matemática, en el que se busca encontrar la mejor solución posible a una función objetivo lineal sujeta a un conjunto de restricciones lineales.

El proceso general para resolver un problema de programación lineal es el siguiente:

• Formulación del problema: se establece la función objetivo y las restricciones del problema de programación lineal en términos matemáticos.
• Identificación de variables de decisión: se identifican las variables de decisión que se utilizan para calcular la función objetivo y las restricciones del problema.
• Representación gráfica: se representa gráficamente el problema utilizando un sistema de coordenadas cartesianas, lo que permite visualizar la región factible de soluciones.
• Método de solución: se utiliza un método matemático para encontrar la solución óptima del problema, que puede ser el método gráfico, el método simplex o el método de la región factible.
• Verificación de la solución: se verifica que la solución encontrada cumple con todas las restricciones del problema y es la mejor solución posible.
• Interpretación de la solución: se interpreta la solución encontrada en términos del problema original y se toman las decisiones adecuadas basadas en la solución óptima encontrada. (Taha, M.; 2006)

EJERCICIOS DE PROGRAMACION LINEAL

Se utilizará el libro de Hamdy A. Taha para explicar la técnica de solución de problemas de PL mediante el método gráfico. Utilicemos dos ejercicio de la página 57 el 2-5 y 2-6, así:

2-5 Préstamos Bancarios

Un pequeño banco asigna un máximo de $20000 para préstamos personales y para automóvil durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de interés anual del  14% a préstamos personales y del 12% a préstamos para automóvil. Ambos tipos de préstamos se saldan en periodos de tres años. El monto de los préstamos para automóvil debe ser cuando menos dos veces mayor que e] de los préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los préstamos personales. ¿Cómo deben asignarse los fondos?

Solución

A.    IDENTIFICACION DE LAS VARIABLES
P= Monto asignado a los préstamos personales
A= Monto Asignado a los préstamos para Automóvil

B.   DISEÑO DE RESTRICCIONES

RESTRICCION	EXPLICACION
A+P<=20.000	El Banco solo tiene $20.000 para prestar, por eso sin importar cuánto asigne en préstamos personales o para automóvil, no debe pasarse de $20.000
A>=2P	El enunciado dice que los préstamos para automóvil deben ser mayor en dos veces a los personales; usamos la siguiente tabla para ilustrar que la restricción debe ser A>=2P
	P	5.000	10.000	15.000	20.000	Variable Independiente
	A	10.000	20.000	30.000	40.000	Variable Dependiente

 Por lo tanto, Las restricciones son:

1)    A+P<=20.000
2)         A>=2P
3)         A>=0
4)         P>=0

C.    FUNCION OBJETO
  

Debemos maximizar los ingresos del banco, pues el objeto de asignar préstamos es recaudar dinero por el servicio de intermediación financiera, que para este caso está determinado por el 14% para Personal y 12% para Automóvil.

Sin embargo, el banco deja de recibir dinero por concepto de préstamos incobrables, los dineros que deja de recibir se clasifican en Monto de Capital y Monto de los Intereses.

El Monto de Capital que deja de recibir el banco, por incobrables; se calcula obteniendo el 1% del monto de los préstamos personales, la fórmula es: Incobrables=0.01 X P

El Monto de los Intereses que dejan de recibirse por incobrables, se calcula obteniendo el 14% del Monto del Capital incobrable, la fórmula es Interés Incobrable=0.14 X (0.01 X P).

Por todo lo anterior, la fórmula de la Función Objeto se construye así:

Z  =     0.14P    +    0.12 A    -    0.01P    -    0.14x(0.01P)

Donde a los posibles ingresos (0.14P+0.12A), se descuenta lo que no se vá a recibir con sus respectivos intereses (0.01P-0.14(0.01P)

Agrupamos los términos con la variable P, la ecuación queda así:

Z=0.14P-0.01P-0.0014P+0.12 A

La función Objeto es

Z=0.1286P+0.12 A

D. REPRESENTACION GRAFICA

Procedimiento para graficar las Restricciones

Para lograr la anterior gráfica, se procede de la siguiente manera:

Se toman cada una de las ecuaciones y se desarrolla el siguiente procedimiento:

Se toma la ecuación, por ejemplo, P+A=20.000, nótese que se usa una ecuación y no una desigualdad, porque para representarla gráficamente, debe usarse ecuación y no restricción; sin embargo, debe tenerse en cuenta el sentido de la desigualdad para determinar el área de soluciones factibles.

Teniendo la ecuación P+A=20.000 se procede a dar valores a las variables, preferiblemente cero (0) a cada una de ellas. De no poder asignar valores de cero (0), se procede a hacer una tabla, dando dos valores diferentes a una variable y despejando la otra.

Primera manera: Valores de cero a ambas variables

Ecuación A+P=20.000
Si A=0, entonces P+0=20.000, despejamos P=20.000, punto a graficar A=0, P=20.000
Si P=0, entonces A+0=20.000, despejamos A=20.000, punto a graficar A=20.000, P=0

Segunda manera: Dar varios valores a una misma variable

Ecuación A+P=20.000
Definimos a cual variable le vamos a dar valores, la cual será la independiente; quiere decir que la otra, la cual se despeja, será la variable dependiente. Tomemos a P como la variable independiente, entones A, se despeja, el procedimiento es:

A+P=20.000
     A=20.000-P (P estaba sumando, pasa al otro lado a restar)

Ahora le damos valores a P, por lo menos dos (2) distintos
Sea P=4.000, entonces A=20.000-4.000=16.000, punto a graficar A=16.000, P=4.000
Sea P=6.000, entonces A=20.000-6.000=14.000, punto a graficar A=14.000, P=6.000

Para graficar la otra ecuación se hace lo mismo.

Sea la ecuación A=2P
Asignemos valores a P
Si P=4.000, entonces A=2 x (4.000)= 8.000, punto a graficar A=8.000, P=4.000
Si P=6.000, entonces A=2 x (6.000)= 12.000, punto a graficar A=12.000, P=6.000

Sea la Ecuación A=0
Nótese que no importa cuál valor tenga P; el valor de A será siempre Cero (0), la gráfica es la línea encima del eje horizontal P

Sea la ecuación P=0
Sin importar el valor de A, P siempre vale cero (0), la gráfica es la línea encima del eje vertical A

Procedimiento para obtener el área de soluciones factibles

Se toma cada una de las restricciones y se procede de la siguiente manera:

Se identifica el signo de la desigualdad, es decir, si es mayor que o menor que, debe entenderse que la expresión Mayor Que, significa el área encima de la línea que representa la ecuación, si es horizontal u oblicua, o es el área de la derecha si es vertical. La expresión Menor Que, significa el área debajo de la línea que representa la ecuación, si es horizontal u oblicua, o es el área de la izquierda si es vertical.

Así por ejemplo,

El Área de Soluciones Factibles es la unión de todos los sentidos representados por las ecuaciones, la siguiente grafica muestra su esquema

 E.    SOLUCION OPTIMA

La solución óptima, es el punto en donde la función objeto se maximiza, para este caso es la intersección entre la ecuación 1 y la 2. Procedemos a solucionar este grupo de ecuaciones:

1     A+P=20.000
2          A=2P

Reemplazamos 2 en 1

2P+P=20.000
     3P=20.000
       P=20.000/3
       P=6.666,66666666667=6.667  

Ahora reemplazamos ese valor en cualquiera de las ecuaciones, tomemos la más corta, es decir, la segunda, entonces:

A=2P
A=2(6.667)=13.333

Por último, calculamos Z, Z=0.1286P+0.12 A, es decir,
Z= 0.1286(6.667)+0.12(13.333)=2.457,33

Respuesta: El ingreso máximo es $2.457,33 prestando $6.667 a la modalidad personal y $13.333 a la modalidad Automóvil

2-6 Fábrica de tomates

Popeye Canning Company tiene un contrato para recibir 60 000 libras de tomates maduros a $7 por Lb de las cuales producirá jugo de tomate y puré de tomate enlatados. Los productos enlatados se empacan en cajas de 24 latas cada una. Una lata de jugo requiere 1 Lb de tomates frescos en tanto que una de puré requiere sólo 1/3 lb. La participación de la compañía en el mercado está limitada a 2 000 cajas de jugo y 6 000 cajas de puré. Los precios al mayoreo por caja de jugo y de puré son $18 y $9, respectivamente. Genere un programa de producción para esta compañía.

A.    VARIABLES

J= Libras de tomate maduro que se usarán para jugo
P=Libras de tomate maduro que se usarán para puré

B.    RESTRICCIONES

1.    J+P  <=60.000
2.    1/24 J<= 2.000 (Cada caja de jugo tiene 24 libras de tomate)
3.    3/24 P<= 6.000 (Cada caja de jugo tiene 8 libras de tomate)
4.    J>=0
5.    P>=0

C.    FUNCION OBJETO

Debe formularse con base en el margen de la producción, es decir, precio menos costo.. Así las cosas, el ingreso por la caja de Jugo es $18-$7 = 11, entonces una libra aporta 11/24=$0.46. Por otro lado, la caja de Puré vale $9, con el costo de $7, deja un margen de $2; asi las cosas, la libra de puré aporta 2/8=$0.25. La ecuación de la Función Objeto es: Z=0.46J+0.25P

D.    REPRESENTACION GRAFICA

E.    SOLUCION OPTIMA
Fíjese que se graficó la ecuación Z=0.46J+0.25P, si se toma esa gráfica y se extrapola hacía arriba (porque se pretende maximizar los ingresos) hasta alcanzar el punto de inflexión en donde solo toque ese punto del área de soluciones factibles, es decir la gráfica de Z’.

El punto de inflexión es la intersección de las ecuaciones 1 y 3, procedemos a solucionar ese sistema de ecuaciones.

1.    J+P  =60.000
3.    24/3 P= 6.000

Despejamos P en 3, obtenemos lo siguiente:
P=(6.000 X 3)/24
P=48.000

Reemplazamos el valor de P en la Ecuación 1, obtenemos lo siguiente

J+48.000=60.000
J=60.000-48.000
J=12.000

Lo anterior implica que debe asignarse 12.000 libras de tomate para jugo y 12.000 libras de tomate para puré.

En relación con la función objeto, ésta se maximiza con los valores:

J=12.000 libras de tomate para jugo
P=48.000 libras de tomate para puré

Conforme a todo lo anterior, El valor maximizado de los ingresos es: Z=0.46(12.000)+0.25(48.000)=$17.520

Fuente

• Taha, M. (2006). Investigación de Operaciones. Alfaomega. 5ta Edición. México. ISBN: 970-15-0115-2